SLIDESHARE

Este ejemplo es histórico porque fue el que tomó Rafael Bombelli  quien fue, con Cardano, el primero en resolver ecuaciones del tercer y cuarto grado por el método ya expuesto (en la Italia del renacimiento, en pleno siglo XVI).

La ecuación dada es x³ - 15x - 4 = 0.

Estudiando la funcion x → x³ - 15x - 4 o calculando el discriminante Δ = 13068 > 0, se puede comprobar que esta ecuación tiene tres raíces reales. Por lo tanto debería ser más fácil que en el primer ejemplo encontrar una.

Puesto que está en forma reducida se sustituye x = u + v, U = u³, V = v³.

U + V = 4 y UV = 125.

U y V son las raíces de X² - 4X + 125 = 0, ecuación de segundo grado cuyo discriminante es negativo. Por lo tanto no tiene raíces reales. Este método nos permite encontrar las raíces, todas reales, pasando obligatoriamente por los numeros complejos 

Esta constatación fue un argumento a favor de los complejos: son herramientas imprescindibles para resolver ecuaciones, aunque sólo tengan soluciones reales.

Hallamos U = 2 - 11·i y V = 2 + 11·i. Extraer raices cubicas  en los complejos no es lo mismo que en los reales. Hay dos métodos: uno geométrico, que utiliza el argumento y el módulo (se divide el argumento por tres, y se toma la raíz cúbica del módulo), y otro algebraico, que emplea las partes real e imaginaria:

Escríbase u = a + bi. Entonces u³ = 2 - 11i equivale al sistema:

a³ - 3ab² = 2 (parte real)

3a²b - b³ = - 11 (parte imaginaria)

a² + b² = 5 (módulo)